Упр.9.32 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$y=\lvert\{x\}\rvert$$; в) $$y=x-\{x\}$$; б) $$y=x+\{x\}$$; г) $$y=\{[x]\}$$.

Рассмотрим каждую функцию по определению целой и дробной части числа.

1. $$y=|\{x\}|=|x-[x]|.$$

   Так как $$0\le x-[x]<1,$$ то $$0\le |\{x\}|<1.$$

   График функции состоит из отрезков, на каждом промежутке $$[k;k+1)$$ он задаётся формулой $$y=x-k.$$

   Функция не является периодической.

2. $$y=x+\{x\}=x+(x-[x])=2x-[x].$$

   Если $$k\le x<k+1,$$ то $$[x]=k,$$ значит

   $$y=2x-k.$$

   Это кусочно-линейная функция, и она не является периодической.

3. $$y=x-\{x\}=x-(x-[x])=[x].$$

   При $$k\le x<k+1$$ имеем $$y=k.$$

   Следовательно, график — ступенчатая функция, и она не является периодической.

4. $$y=\{\,[x]\,\}=[x]-[[x]].$$

   Так как $$[x]$$ — целое число, то $$[[x]]=[x].$$ Тогда

   $$y=[x]-[x]=0.$$

   График — прямая $$y=0,$$ функция является периодической с любым положительным периодом.

Ответ

а) не является; б) не является; в) не является; г) является.