Упр.9.31 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим каждую функцию.
$$y=\{x\}=x-[x].$$
Пусть $$[x]=k$$, тогда
$$k\le x<k+1,$$
а значит
$$0\le y<1.$$
График — «пилообразная» линия, состоящая из отрезков на каждом промежутке $$[k;k+1)$$.
Функция является периодической.
$$y=\{x-2{,}5\}=(x-2{,}5)-[x-2{,}5].$$
Пусть $$[x-2{,}5]=k$$, тогда
$$k\le x-2{,}5<k+1,$$
откуда
$$k+2{,}5\le x<k+3{,}5.$$
И снова
$$0\le y<1.$$
Это график функции $$y=\{x\}$$, сдвинутый вправо на $$2{,}5$$.
Функция является периодической.
$$y=\{2x\}=2x-[2x].$$
Пусть $$[2x]=k$$, тогда
$$k\le 2x<k+1,$$
то есть
$$\frac{k}{2}\le x<\frac{k+1}{2}.$$
При этом
$$0\le y<1.$$
График получается сжатым по оси $$x$$ в 2 раза по сравнению с графиком $$y=\{x\}$$.
Функция является периодической.
$$y=\{|x|\}.$$
Так как $$|-x|=|x|$$, то
$$y(-x)=\{|-x|\}=\{|x|\}=y(x).$$
Значит, функция чётная.
При $$x>0$$ имеем $$y=\{x\}=x-[x]$$, поэтому на положительной полуоси график совпадает с графиком $$y=\{x\}$$, а на отрицательной — симметричен ему относительно оси $$Oy$$.
Функция не является периодической.
Ответ: а), б), в) — являются периодическими; г) — не является периодической.
