Упр.9.3 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Может ли областью определения периодической функции быть: а) отрезок; в) луч; б) интервал; г) множество целых чисел?
Для периодической функции должно выполняться равенство $$f(x+T)=f(x),$$ где $$T$$ — период.
Рассмотрим каждый случай.
Отрезок. Не может. Если область определения — отрезок $$[a;b],$$ то для некоторых $$x \in [a;b]$$ число $$x+T$$ выйдет за пределы отрезка, и функция в этой точке не будет определена.
Интервал. Может, если область определения — вся числовая прямая $$(-\infty;+\infty).$$ В этом случае для любого $$x$$ число $$x+T$$ тоже принадлежит области определения.
Луч. Не может. Если область определения имеет вид $$[a;+\infty)$$ или $$(-\infty;b],$$ то при сдвиге на период часть точек выйдет за пределы области определения.
Множество целых чисел. Может, если период $$T$$ — целое число. Тогда при любом целом $$x$$ число $$x+T$$ тоже целое, и область определения сохраняется.
Ответ: а) нет; б) может, если $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$; в) нет; г) может, если $$T \in \mathbb{Z}$$.
