Упр.9.29 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Постройте график функции и определите, является ли функция периодической: а) $$y=[x]$$; в) $$y=[2x]$$; б) $$y=[x-2{,}5]$$; г) $$y=[|x|]$$.

Подробный ответ

а) Для функции $$y=[x]$$ имеем: $$y=k,\quad k\le x<k+1,\quad k\in \mathbb{Z}.$$ Это ступенчатая функция, её график состоит из горизонтальных отрезков на промежутках длины 1. Периодической она не является.

б) Для функции $$y=[x-2{,}5]$$ получаем: $$y=k,\quad k\le x-2{,}5<k+1,$$ откуда $$k+2{,}5\le x<k+3{,}5,\quad k\in \mathbb{Z}.$$ Это график функции $$y=[x]$$, сдвинутый вправо на $$2{,}5$$. Функция не является периодической.

в) Для функции $$y=[2x]$$ имеем: $$y=k,\quad k\le 2x<k+1,$$ значит

$$\frac{k}{2}\le x<\frac{k+1}{2},\quad k\in \mathbb{Z}.$$

График получается сжатием графика $$y=[x]$$ в 2 раза по оси $$x$$. Функция не является периодической.

г) Для функции $$y=[|x|]$$, так как $$|x|$$ — чётная функция, то и $$y(x)=y(-x)$$. При $$x\ge 0$$ график совпадает с графиком $$y=[x]$$, а при $$x<0$$ — симметричен ему относительно оси $$y$$. Функция не является периодической.

Ответ: а) не является; б) не является; в) не является; г) не является.