Упр.9.28 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Докажите, что $$1$$ — наименьший период функции $$y=\{x\}$$.

Пусть $$f(x)=\{x\}.$$ По определению периодической функции, если число $$T$$ — период, то

$$f(x+T)=f(x)$$

для любого $$x$$. Значит,

$$\{x+T\}=\{x\}.$$

Используем представление дробной части:

$$\{x\}=x-[x], \qquad \{x+T\}=x+T-[x+T].$$

Тогда из равенства $$\{x+T\}=\{x\}$$ получаем

$$x+T-[x+T]=x-[x],$$

откуда

$$T=[x+T]-[x].$$

Правая часть — разность целых чисел, значит, $$T$$ тоже целое число.

Следовательно, все периоды функции $$y=\{x\}$$ — целые числа. Наименьший положительный целый период равен $$1$$.

Ответ: $$1$$.