Упр.9.27 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Докажите, что для любого значения $$x$$ выполняются равенства $$[x+1]=[x]+1$$, $$[x-1]=[x]$$.
   б) Докажите, что для любого значения $$x$$ выполняются равенства $$\{x+1\}=\{x\}=\{x-1\}$$.
   в) Докажите, что функция $$y=[x]$$ не является периодической.
   г) Докажите, что функция $$y=\{x\}$$ является периодической с периодом $$1$$.

а) Пусть $$[x]=a,\quad a\in \mathbb{Z}.$$ Тогда по определению целой части числа

$$a\le x<a+1.$$

Прибавим к неравенству 1:

$$a+1\le x+1<a+2.$$

Значит,

$$[x+1]=a+1=[x]+1.$$

Аналогично, вычтем 1:

$$a-1\le x-1<a,$$

откуда

$$[x-1]=a-1=[x]-1.$$

Следовательно,

$$[x+1]=[x]+1,\qquad [x-1]=[x]-1.$$

б) По определению дробной части

$$\{x\}=x-[x].$$

Тогда

$$\{x+1\}=x+1-[x+1]=x+1-([x]+1)=x-[x]=\{x\},$$

и

$$\{x-1\}=x-1-[x-1]=x-1-([x]-1)=x-[x]=\{x\}.$$

Значит,

$$\{x+1\}=\{x\}=\{x-1\}.$$

в) Предположим, что функция $$y=[x]$$ периодическая с периодом $$T\ne 0$$. Тогда для любого $$x$$ должно выполняться

$$[x+T]=[x].$$

Возьмём, например, $$x=0$$. Тогда

$$[0]=0,$$

а при $$T\ne 0$$ значение $$[T]$$ вообще не обязано совпадать с $$[0]$$. В частности, если взять $$x$$ из промежутка $$0\le x<1$$, то $$[x]=0$$, а при сдвиге на нецелое $$T$$ значение целой части меняется. Следовательно, не существует ненулевого периода, и функция $$y=[x]$$ не является периодической.

г) Для функции $$y=\{x\}$$ имеем

$$\{x+1\}=(x+1)-[x+1]=x+1-([x]+1)=x-[x]=\{x\}.$$

Значит,

$$y(x+1)=y(x),$$

то есть функция $$y=\{x\}$$ периодическая с периодом $$1$$.

Ответ

а) $$[x+1]=[x]+1,\quad [x-1]=[x]-1.$$
б) $$\{x+1\}=\{x\}=\{x-1\}.$$
в) $$y=[x]$$ не является периодической.
г) $$y=\{x\}$$ периодическая, её период равен $$1$$.