Упр.9.25 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Существует ли такая функция $$y=f(x)$$, что для любого $$x$$ из области её определения выполняется равенство $$f(2x)=f(x)$$, а функция является периодической? Если существует, приведите пример такой функции.
   б) Существует ли такая функция $$y=f(x)$$, что для любого $$x$$ из области её определения выполняется неравенство $$f(2x)>f(x)$$, а функция является периодической? Если существует, приведите пример такой функции.

а) Да, существует. Например, постоянная функция $$f(x)=1$$ периодическая, и для любого $$x$$ из области определения выполняется

$$f(2x)=1=f(x).$$

б) Не существует. Если для всех $$x$$ выполняется $$f(2x)>f(x),$$ то при любом $$x>0$$ имеем $$2x>x,$$ значит значения функции строго возрастают при увеличении аргумента. Периодическая функция не может быть строго возрастающей на всей области определения, поэтому такое невозможно.

Ответ

а) существует, например $$f(x)=1$$; б) не существует.