Упр.9.24 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
а) Существует ли такая функция $$y=f(x)$$, что для любого $$x$$ из области её определения выполняется равенство $$f(x)=f(x+2)$$, а функция не является периодической? Если существует, приведите пример такой функции.
б) Существует ли такая функция $$y=f(x)$$, что для любого $$x$$ из области её определения выполняется равенство $$f(x)=f(x-3)$$, а функция не является периодической? Если существует, приведите пример такой функции.
Да, такие функции существуют.
Возьмём, например, функцию $$f(x)=6+\sqrt{x}-\sqrt{x}.$$
Её область определения: $$D(f)=[0;+\infty).$$
Тогда для любого $$x\in D(f)$$ имеем:
$$f(x)=6+\sqrt{x}-\sqrt{x}=6,$$
$$f(x+2)=6+\sqrt{x+2}-\sqrt{x+2}=6.$$
Следовательно, $$f(x)=f(x+2).$$ При этом функция не является периодической, так как её область определения не совпадает с областью определения при сдвиге на любой период.
Возьмём, например, функцию $$f(x)=10+\sqrt{x}-\sqrt{x}.$$
Её область определения: $$D(f)=[0;+\infty).$$
Тогда для любого $$x\in D(f)$$ имеем:
$$f(x)=10+\sqrt{x}-\sqrt{x}=10,$$
$$f(x-3)=10+\sqrt{x-3}-\sqrt{x-3}=10.$$
Следовательно, $$f(x)=f(x-3).$$ При этом функция не является периодической.
Ответ: да, в обоих случаях существуют; например, $$f(x)=6+\sqrt{x}-\sqrt{x}$$ и $$f(x)=10+\sqrt{x}-\sqrt{x}.$$
