Упр.9.23 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Пусть $$f(x)=x^2+8x+5$$ на отрезке $$[-6;-2]$$, а период функции равен $$T=4$$.

а) $$f(x)=-11$$

Решим уравнение на отрезке $$[-6;-2]$$:

$$x^2+8x+5=-11 \\\\ x^2+8x+16=0 \\\\ (x+4)^2=0 \\\\ x=-4$$

Все периоды функции имеют вид $$x=-4+4k$$, где $$k\in\mathbb{Z}$$.

Ответ: $$x=4n,\ n\in\mathbb{Z}$$.

б) $$f(x)\le -11$$

Решим неравенство на отрезке $$[-6;-2]$$:

$$x^2+8x+5\le -11 \\\\ x^2+8x+16\le 0 \\\\ (x+4)^2\le 0 \\\\ x=-4$$

Тогда все решения имеют вид $$x=-4+4k$$, где $$k\in\mathbb{Z}$$.

Ответ: $$x=4n,\ n\in\mathbb{Z}$$.

в) $$f(x)=-10$$

Решим уравнение на отрезке $$[-6;-2]$$:

$$x^2+8x+5=-10 \\\\ x^2+8x+15=0 \\\\ D=8^2-4\cdot 15=64-60=4$$

$$x_{1,2}=\frac{-8\pm 2}{2}$$

$$x_1=-5,\qquad x_2=-3$$

Все решения с учётом периода:

$$x=-5+4k \quad \text{или} \quad x=-3+4k,\qquad k\in\mathbb{Z}$$

Это можно записать как:

$$x=4n-3,\qquad n\in\mathbb{Z}$$

Ответ: $$x=4n-3,\ n\in\mathbb{Z}$$.

г) $$f(x)>-10$$

Решим неравенство на отрезке $$[-6;-2]$$:

$$x^2+8x+5>-10 \\\\ x^2+8x+15>0 \\\\ (x+5)(x+3)>0$$

Отсюда на отрезке $$[-6;-2]$$ получаем:

$$-6\le x<-5 \quad \text{или} \quad -3<x\le -2$$

С учётом периода $$T=4$$:

$$-6+4k\le x<-5+4k \quad \text{или} \quad -3+4k<x\le -2+4k,\qquad k\in\mathbb{Z}$$

Объединяя все такие промежутки, получаем:

$$4n-3<x<4n-1,\qquad n\in\mathbb{Z}$$

Ответ: $$4n-3<x<4n-1,\ n\in\mathbb{Z}$$.