Упр.9.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Наибольшее значение периодической функции с периодом $$3$$ на отрезке $$[-1; 2]$$ равно $$5$$, а наименьшее значение равно $$-2$$. Найдите, если это возможно: а) наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке $$(-2; 11]$$; б) наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке $$(-5; 8]$$; в) наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке $$(-2; 1]$$; г) наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке $$(-\infty; 1)$$.

Подробный ответ

Так как функция периодическая с периодом $$T=3,$$ то на любом отрезке длиной, кратной $$3,$$ она принимает те же значения, что и на отрезке $$[-1;2].$$ На этом отрезке

$$y_{\max}=5,\qquad y_{\min}=-2.$$

а)

Промежуток $$(-2;11]$$ имеет длину

$$11-(-2)=13=4\cdot 3+1.$$

Значит, он содержит несколько полных периодов и ещё часть периода, на которой функция принимает все значения из отрезка $$[-1;2].$$ Поэтому

$$y_{\max}=5,\qquad y_{\min}=-2.$$

б)

Промежуток $$(-5;8]$$ имеет длину

$$8-(-5)=13=4\cdot 3+1.$$

Аналогично, на этом промежутке функция также принимает все значения из отрезка $$[-1;2].$$ Следовательно,

$$y_{\max}=5,\qquad y_{\min}=-2.$$

в)

Промежуток $$(-2;1]$$ имеет длину

$$1-(-2)=3=T.$$

Это ровно один период, но из-за открытой левой границы промежуток не совпадает с целым периодом функции. Поэтому нельзя гарантировать, что на нём функция принимает и наибольшее, и наименьшее значения из отрезка $$[-1;2].$$

Следовательно, определить значения $$y_{\max}$$ и $$y_{\min}$$ невозможно.

г)

На промежутке $$(-\infty;1)$$ содержится бесконечно много периодов функции, значит, она принимает все свои значения, в том числе наибольшее и наименьшее.

Поэтому

$$y_{\max}=5,\qquad y_{\min}=-2.$$