Упр.9.19 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Рассмотрим функцию $$y=\frac{1}{x+2}.$$ Это функция вида $$y=\frac{1}{x}$$, сдвинутая на $$2$$ единицы влево. Так как коэффициент при дроби положителен, функция убывает.

На промежутке $$(-1;1]$$ получаем:

$$\begin{array}{c|cc} x & -1 & 1 \\ \hline y & 1 & \frac13 \end{array}$$

Следовательно, на данном промежутке функция принимает значения от $$\frac13$$ до $$1$$, то есть

$$E(f)=\left[\frac13;1\right].$$

Так как функция убывает, то на $$(-1;1]$$ она убывает на всём промежутке. Нулей нет, поскольку $$\frac{1}{x+2}=0$$ не имеет решений. Знак функции положителен при всех допустимых $$x$$. Функция ни чётная, ни нечётная.

б) Рассмотрим функцию $$y=\frac{1}{x}.$$ Она убывает на каждом промежутке своей области определения.

На промежутке $$(-2;2]$$ значения функции:

$$\begin{array}{c|cccc} x & -2 & -1 & 1 & 2 \\ \hline y & -0{,}5 & -1 & 1 & 0{,}5 \end{array}$$

Отсюда

$$E(f)=(-\infty;-0{,}5]\cup[0{,}5;+\infty).$$

Функция убывает на $$(-2;0)$$ и $$\left(0;2\right]$$, нулей не имеет, так как $$\frac{1}{x}=0$$ не имеет решений. Функция ни чётная, ни нечётная.

в) Преобразуем функцию:

$$\frac{x}{x+2}=\frac{x+2-2}{x+2}=1-\frac{2}{x+2}.$$

Это график функции $$y=\frac{1}{x}$$, растянутый по вертикали в 2 раза, сдвинутый на $$2$$ единицы влево и на $$1$$ единицу вверх. На промежутке $$[0;3]$$:

$$\begin{array}{c|cc} x & 0 & 3 \\ \hline y & 0 & 0{,}6 \end{array}$$

Так как функция возрастает, то на $$[0;3]$$ она возрастает на всём промежутке. Нуль функции: $$x=0$$. Значения функции на этом промежутке лежат в пределах

$$E(f)=[0;0{,}6].$$

г) Рассмотрим функцию

$$y=\frac{|x|}{|x|-1}.$$

Функция чётная, так как

$$y(-x)=\frac{|-x|}{|-x|-1}=\frac{|x|}{|x|-1}=y(x).$$

На промежутке $$[-2;3)$$ вычислим несколько значений:

$$\begin{array}{c|cccc} x & -2 & 0 & 2 & 3 \\ \hline y & 2 & 0 & 2 & 1{,}5 \end{array}$$

Область определения: $$x\neq \pm 1$$. На данном промежутке функция возрастает на $$[-2;-1)$$ и $$(-1;0]$$, убывает на $$[0;1)$$ и $$\left(1;3\right)$$. Нуль функции: $$x=0$$. Значения функции:

$$E(f)=(-\infty;0]\cup(1;+\infty).$$

Ответ:

а) $$E(f)=\left[\frac13;1\right]$$, функция убывает, нулей нет, знак положительный, функция ни чётная, ни нечётная.

б) $$E(f)=(-\infty;-0{,}5]\cup[0{,}5;+\infty)$$, функция убывает на $$(-2;0)$$ и $$\left(0;2\right]$$, нулей нет, функция ни чётная, ни нечётная.

в) $$E(f)=[0;0{,}6]$$, функция возрастает на $$[0;3]$$, нуль: $$x=0$$.

г) $$E(f)=(-\infty;0]\cup(1;+\infty)$$, функция чётная, нуль: $$x=0$$.