Упр.9.17 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Рассмотрим функцию $$y=3x$$ на промежутке $$(-1;1]$$ и период $$T=2$$.

На данном промежутке функция возрастает, так как $$3>0$$. Найдём значения на концах промежутка:

$$\begin{aligned} x&=-1 \Rightarrow y=-3,\\ x&=1 \Rightarrow y=3. \end{aligned}$$

Тогда для всей периодической функции:

• $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$;
• $$E(f)=(-3;3]$$;
• функция возрастает на $$(-1+2k;\,1+2k]$$, $$k\in\mathbb Z$$;
• наибольшее значение $$y_{\max}=3$$, наименьшего значения нет;
• нули функции: $$x=2k,\ k\in\mathbb Z$$;
• $$f(x)>0$$ при $$x\in(2k;\,1+2k]$$, $$f(x)<0$$ при $$x\in(-1+2k;\,2k)$$;
• функция ни чётная, ни нечётная.

б) Рассмотрим функцию $$y=4-x^2$$ на отрезке $$[-2;2]$$ и период $$T=4$$.

Это парабола с ветвями вниз. На данном промежутке:

$$\begin{aligned} x&=-2 \Rightarrow y=0,\\ x&=0 \Rightarrow y=4,\\ x&=2 \Rightarrow y=0. \end{aligned}$$

Следовательно, для периодической функции:

• $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$;
• $$E(f)=[0;4]$$;
• функция возрастает на $$[4k-2;\,4k]$$ и убывает на $$[4k;\,4k+2]$$, $$k\in\mathbb Z$$;
• наибольшее значение $$y_{\max}=4$$, наименьшее значение $$y_{\min}=0$$;
• нули функции: $$x=4k\pm2,\ k\in\mathbb Z$$;
• $$f(x)>0$$ при $$x\in(4k-2;\,4k+2)$$;
• функция чётная.

в) Рассмотрим функцию $$y=2-x$$ на промежутке $$[0;3)$$ и период $$T=3$$.

Функция убывает, так как коэффициент при $$x$$ отрицателен. Найдём значения на концах промежутка:

$$\begin{aligned} x&=0 \Rightarrow y=2,\\ x&=3 \Rightarrow y=-1. \end{aligned}$$

Тогда:

• $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$;
• $$E(f)=(-1;2]$$;
• функция убывает на $$[3k;\,3k+3)$$, $$k\in\mathbb Z$$;
• наибольшее значение $$y_{\max}=2$$, наименьшего значения нет;
• нули функции: $$x=3k+2,\ k\in\mathbb Z$$;
• $$f(x)>0$$ при $$x\in[3k;\,3k+2)$$, $$f(x)<0$$ при $$x\in(3k+2;\,3k+3)$$;
• функция ни чётная, ни нечётная.

г) Рассмотрим функцию $$y=2x^2-1$$ на интервале $$[0;1)$$ и период $$T=1$$.

Это парабола с ветвями вверх. На данном промежутке:

$$\begin{aligned} x&=0 \Rightarrow y=-1,\\ x&=1 \Rightarrow y=1. \end{aligned}$$

Найдём нуль функции:

$$2x^2-1=0 \Rightarrow x^2=\frac12 \Rightarrow x=\frac{1}{\sqrt2}.$$

Следовательно:

• $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$;
• $$E(f)=(-1;1)$$;
• функция возрастает на $$[k;\,k+1)$$, $$k\in\mathbb Z$$;
• наибольшего и наименьшего значений нет;
• нули функции: $$x=k+\frac{1}{\sqrt2},\ k\in\mathbb Z$$;
• $$f(x)>0$$ при $$x\in\left(k+\frac{1}{\sqrt2};\,k+1\right)$$, $$f(x)<0$$ при $$x\in\left(k;\,k+\frac{1}{\sqrt2}\right)$$;
• функция ни чётная, ни нечётная.

Ответ

а) $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$, $$E(f)=(-3;3]$$; возрастает на $$(-1+2k;\,1+2k]$$; $$y_{\max}=3$$, минимума нет; нули $$x=2k$$; функция ни чётная, ни нечётная.

б) $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$, $$E(f)=[0;4]$$; возрастает на $$[4k-2;\,4k]$$, убывает на $$[4k;\,4k+2]$$; $$y_{\max}=4$$, $$y_{\min}=0$$; нули $$x=4k\pm2$$; функция чётная.

в) $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$, $$E(f)=(-1;2]$$; убывает на $$[3k;\,3k+3)$$; $$y_{\max}=2$$, минимума нет; нули $$x=3k+2$$; функция ни чётная, ни нечётная.

г) $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$, $$E(f)=(-1;1)$$; возрастает на $$[k;\,k+1)$$; наибольшего и наименьшего значений нет; нули $$x=k+\frac{1}{\sqrt2}$$; функция ни чётная, ни нечётная.