Упр.9.14 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- 9.24. Выясните, может ли функция быть периодической, если она обладает указанным свойством; если может, то приведите пример, если не может, — объясните почему:
а) областью определения функции является отрезок или луч;
б) областью определения функции является объединение бесконечного множества отрезков, но не прямая;
в) функция определена на всей числовой прямой, кроме одной точки;
г) функция определена на всей числовой прямой, кроме бесконечного числа точек.
а) Не может. У периодической функции вместе с любым числом $$x$$ из области определения должно принадлежать области определения и число $$x+T$$, где $$T$$ — период. Но если область определения — отрезок или луч, то при любом $$T \ne 0$$ найдутся точки, для которых $$x+T$$ выйдет за пределы области определения. Значит, периодической такая функция быть не может.
б) Может. Например, функция
$$y=\sqrt{3-5\{x\}}$$
определена при
$$3-5\{x\}\ge 0,$$
то есть при
$$\{x\}\le \frac35.$$
Так как дробная часть не меняется при прибавлении целого числа, то
$$f(x+1)=f(x),$$
следовательно, функция периодическая с периодом $$1$$.
в) Не может. Если функция определена на всей числовой прямой, кроме одной точки $$a$$, то при любом периоде $$T$$ можно выбрать такое $$x$$, что $$x+T=a$$. Тогда $$f(x+T)$$ не определена, а значит, не может равняться $$f(x)$$.
г) Может. Например, функция
$$y=\frac{5}{\{x\}}$$
определена при
$$\{x\}\ne 0,$$
то есть при всех $$x\ne k,\ k\in \mathbb Z.$$
Поскольку $$\{x+1\}=\{x\},$$ имеем
$$f(x+1)=f(x),$$
значит, функция периодическая с периодом $$1$$.
Ответ: а) не может; б) может; в) не может; г) может.
