Упр.9.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Пусть для любого $$x$$ из области определения функции $$y=f(x)$$ выполняются равенства $$f(x-3)=f(x+3)=f(x)$$ и $$f(x-5)=f(x+5)=f(x)$$. Докажите, что для любого $$x$$ из области определения функции выполняется равенство $$f(x-2)=f(x+2)=f(x)$$.

Так как для любого $$x$$ из области определения функции выполняется

$$f(x-3)=f(x+3)=f(x),$$

то число $$3$$ является периодом функции. Аналогично из равенства

$$f(x-5)=f(x+5)=f(x)$$

следует, что число $$5$$ тоже является периодом функции.

Тогда разность периодов $$5-3=2$$ также является периодом функции. Значит, для любого $$x$$ из области определения функции

$$f(x-2)=f(x)=f(x+2).$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$f(x-2)=f(x+2)=f(x).$$