Упр.9.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Пусть для любого $$x$$ из области определения функции $$y=f(x)$$ выполняется равенство $$f(x-0{,}1)=f(x+0{,}1)=f(x)$$. Докажите, что тогда для любого $$x$$ из области определения функции выполняется равенство $$f(x-2)=f(x+2)=f(x)$$.

Так как для любого $$x$$ из области определения функции выполнено

$$f(x-0{,}1)=f(x+0{,}1)=f(x),$$

то число $$T=0{,}1$$ является периодом функции.

Тогда любая целая кратная этого периода тоже является периодом, в частности

$$2=20\cdot 0{,}1.$$

Следовательно, для любого $$x$$ из области определения функции

$$f(x-2)=f(x-20\cdot 0{,}1)=f(x),$$

$$f(x+2)=f(x+20\cdot 0{,}1)=f(x).$$

Значит,

$$f(x-2)=f(x+2)=f(x).$$

Ответ

$$f(x-2)=f(x+2)=f(x).$$