Упр.9.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Используем свойство периода: если функция $$f(x)$$ имеет период $$T_1$$, а функция $$g(x)$$ имеет период $$T_2$$, то при сдвиге на любое общее кратное этих периодов значения функций не меняются. Поэтому для функции $$h(x)$$ достаточно проверить, что её сдвиг на $$T_3$$ сводится к тем же значениям аргумента у $$f$$ и $$g$$.

а)

$$T_1=2,\quad T_2=7,\quad h(x)=5f(x)-3g(x),\quad T_3=14.$$

Так как $$14=7T_1=2T_2,$$ то

$$h(x\pm 14)=5f(x\pm 14)-3g(x\pm 14)=5f(x)-3g(x)=h(x).$$

б)

$$T_1=15,\quad T_2=10,\quad h(x)=8f(x)+5g(x),\quad T_3=30.$$

Так как $$30=2T_1=3T_2,$$ то

$$h(x\pm 30)=8f(x\pm 30)+5g(x\pm 30)=8f(x)+5g(x)=h(x).$$

в)

$$T_1=3,\quad T_2=13,\quad h(x)=0{,}2f(x-3)-g(x+11),\quad T_3=39.$$

Так как $$39=13T_1=3T_2,$$ получаем

$$h(x\pm 39)=0{,}2f(x\pm 39-3)-g(x\pm 39+11).$$

С учётом периодичности $$f$$ и $$g$$:

$$f(x\pm 39-3)=f(x-3),\qquad g(x\pm 39+11)=g(x+11).$$

Значит,

$$h(x\pm 39)=0{,}2f(x-3)-g(x+11)=h(x).$$

г)

$$T_1=\frac{\sqrt{13}}{15},\quad T_2=\frac{\sqrt{13}}{10},\quad h(x)=5f(x)-3g(x),\quad T_3=\frac{\sqrt{13}}{5}.$$

Так как

$$\frac{\sqrt{13}}{5}=3T_1=2T_2,$$

то

$$h\!\left(x\pm \frac{\sqrt{13}}{5}\right) =5f\!\left(x\pm \frac{\sqrt{13}}{5}\right)-3g\!\left(x\pm \frac{\sqrt{13}}{5}\right) =5f(x)-3g(x)=h(x).$$

Ответ: во всех пунктах период функции $$h(x)$$ равен указанному $$T_3$$.