Упр.9.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Пусть функция $$y=f(x)$$ имеет период $$T.$$ Тогда для любой функции вида $$y=k\cdot f(x+a)+b$$ число $$T$$ также является периодом, так как

$$\begin{aligned} y(x+T)&=k\cdot f(x+T+a)+b,\\ &=k\cdot f(x+a)+b,\\ &=y(x). \end{aligned}$$

Следовательно, сдвиг аргумента на $$a$$, умножение на $$k$$ и прибавление $$b$$ не изменяют период функции.

Аналогично, если $$y=f(x)$$ имеет период $$T,$$ то для функции $$y=f(px+a)$$ период равен $$\dfrac{T}{|p|}.$$ Действительно,

$$\begin{aligned} y\!\left(x+\frac{T}{|p|}\right) &=f\!\left(p\left(x+\frac{T}{|p|}\right)+a\right)\\ &=f\!\left(px+a\pm T\right)\\ &=f(px+a)\\ &=y(x). \end{aligned}$$

Значит, период функции $$y=f(px+a)$$ равен $$\dfrac{T}{|p|}.$$

Ответ: период функции $$y=k\cdot f(x+a)+b$$ равен $$T,$$ а период функции $$y=f(px+a)$$ равен $$\dfrac{T}{|p|}.$$