Упр.88 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдите, при каких значениях переменной имеет смысл выражение:

а) $$\frac{\sqrt{3-5x-2x^2}}{7x}$$;

б) $$\frac{\sqrt{3x^2-x-14}}{2x+5}$$;

в) $$\frac{\sqrt{2-5x-3x^2}}{9x}$$;

г) $$\frac{\sqrt{3x^2-4x-15}}{7-2x}$$.

Для существования выражения нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, а знаменатель — отличным от нуля.

а)

$$\frac{\sqrt{3-5x-2x^2}}{7x}$$

$$3-5x-2x^2\ge 0$$
$$2x^2+5x-3\le 0$$
$$D=5^2+4\cdot 2\cdot 3=49$$
$$x_1=\frac{-5-7}{4}=-3,\qquad x_2=\frac{-5+7}{4}=\frac12$$
$$2x^2+5x-3=(x+3)(2x-1)$$
$$-3\le x\le \frac12$$

$$7x\ne 0,\qquad x\ne 0$$

Следовательно,
$$x\in[-3;0)\cup\left(0;\frac12\right].$$

б)

$$\frac{\sqrt{3x^2-x-14}}{2x+5}$$

$$3x^2-x-14\ge 0$$
$$D=1+4\cdot 3\cdot 14=169$$
$$x_1=\frac{1-13}{6}=-2,\qquad x_2=\frac{1+13}{6}=\frac73$$
$$3x^2-x-14=(x+2)(3x-7)$$
$$x\le -2 \quad \text{или} \quad x\ge \frac73$$

$$2x+5\ne 0,\qquad x\ne -\frac52$$

Значит,
$$x\in\left(-\infty;-\frac52\right)\cup\left(-\frac52;-2\right]\cup\left[\frac73;+\infty\right).$$

в)

$$\frac{\sqrt{2-5x-3x^2}}{9x}$$

$$2-5x-3x^2\ge 0$$
$$3x^2+5x-2\le 0$$
$$D=5^2+4\cdot 3\cdot 2=49$$
$$x_1=\frac{-5-7}{6}=-2,\qquad x_2=\frac{-5+7}{6}=\frac13$$
$$3x^2+5x-2=(3x-1)(x+2)$$
$$-2\le x\le \frac13$$

$$9x\ne 0,\qquad x\ne 0$$

Следовательно,
$$x\in[-2;0)\cup\left(0;\frac13\right].$$

г)

$$\frac{\sqrt{3x^2-4x-15}}{7-2x}$$

$$3x^2-4x-15\ge 0$$
$$D=4^2+4\cdot 3\cdot 15=196$$
$$x_1=\frac{4-14}{6}=-\frac53,\qquad x_2=\frac{4+14}{6}=3$$
$$3x^2-4x-15=(3x+5)(x-3)$$
$$x\le -\frac53 \quad \text{или} \quad x\ge 3$$

$$7-2x\ne 0,\qquad x\ne \frac72$$

Итак,
$$x\in\left(-\infty;-\frac53\right]\cup[3;\tfrac72)\cup\left(\tfrac72;+\infty\right).$$

Ответ

а) $$x\in[-3;0)\cup\left(0;\frac12\right]$$

б) $$x\in\left(-\infty;-\frac52\right)\cup\left(-\frac52;-2\right]\cup\left[\frac73;+\infty\right)$$

в) $$x\in[-2;0)\cup\left(0;\frac13\right]$$

г) $$x\in\left(-\infty;-\frac53\right]\cup[3;\tfrac72)\cup\left(\tfrac72;+\infty\right)$$