Упр.85 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$y=\sqrt{x^2+7x+12}$$; б) $$y=\sqrt{-x^2-11x-28}$$; в) $$y=\sqrt{x^2+6x+10}$$; г) $$y=\sqrt{-x^2+2x-1}$$

а) $$y=\sqrt{(x^2+7x+12)^{-1}}$$

Выражение имеет смысл, если

$$(x^2+7x+12)^{-1}\ge 0.$$

Так как

$$(x^2+7x+12)^{-1}=\frac{1}{x^2+7x+12},$$

то нужно, чтобы

$$x^2+7x+12>0.$$

Разложим на множители:

$$x^2+7x+12=(x+4)(x+3).$$

Тогда

$$(x+4)(x+3)>0,$$

откуда

$$x<-4 \text{ или } x>-3.$$

Ответ: $$D(x)=(-\infty;-4)\cup(-3;+\infty).$$

б) $$y=\sqrt{-x^2-11x-28}$$

Выражение имеет смысл, если

$$-x^2-11x-28\ge 0.$$

Умножим неравенство на $$-1$$, изменив знак:

$$x^2+11x+28\le 0.$$

Разложим на множители:

$$x^2+11x+28=(x+7)(x+4).$$

Тогда

$$(x+7)(x+4)\le 0,$$

откуда

$$-7\le x\le -4.$$

Ответ: $$D(x)=[-7;-4].$$

в) $$y=\sqrt{x^2+6x+10}$$

Выражение имеет смысл, если

$$x^2+6x+10\ge 0.$$

Рассмотрим квадратный трёхчлен:

$$D=6^2-4\cdot 1\cdot 10=36-40=-4<0.$$

Так как старший коэффициент положителен, то $$x^2+6x+10>0$$ при любом $$x$$.

Ответ: $$D(x)=(-\infty;+\infty).$$

г) $$y=\sqrt{-x^2+2x-1}$$

Выражение имеет смысл, если

$$-x^2+2x-1\ge 0.$$

Перенесём всё в левую часть и умножим на $$-1$$:

$$x^2-2x+1\le 0.$$

Получаем

$$(x-1)^2\le 0.$$

Квадрат числа неотрицателен, значит неравенство выполняется только при

$$x=1.$$

Ответ: $$D(x)=\{1\}.$$