Упр.84 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

84. Найдите область определения функции:
    а) $$y=\sqrt{3-9x}$$; б) $$y=\frac{1}{\sqrt{5x+3}}$$; в) $$y=\sqrt{36-x^2}$$; г) $$y=\frac{1}{\sqrt{4x^2-8x}}$$.

Найдём область определения каждой функции, учитывая, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель — отличным от нуля.

1. $$y=\sqrt{3-9x}$$

   Требуется:

   $$3-9x\ge 0$$

   $$9x\le 3$$

   $$x\le \frac13$$

   Следовательно,

   $$D(y)=(-\infty;\frac13]$$

2. $$y=\frac{1}{\sqrt{5x+3}}$$

   Знаменатель не должен обращаться в нуль, значит:

   $$5x+3>0$$

   $$5x>-3$$

   $$x>-\frac35$$

   Следовательно,

   $$D(y)=\left(-\frac35;+\infty\right)$$

3. $$y=\sqrt{36-x^2}$$

   Требуется:

   $$36-x^2\ge 0$$

   $$x^2\le 36$$

   $$-6\le x\le 6$$

   Следовательно,

   $$D(y)=[-6;6]$$

4. $$y=\frac{1}{\sqrt{4x^2-8x}}$$

   Знаменатель должен быть положительным:

   $$4x^2-8x>0$$

   $$4x(x-2)>0$$

   $$x(x-2)>0$$

   Отсюда:

   $$x<0 \text{ или } x>2$$

   Следовательно,

   $$D(y)=(-\infty;0)\cup(2;+\infty)$$

Ответ

$$D(y)=(-\infty;\frac13],\quad \left(-\frac35;+\infty\right),\quad [-6;6],\quad (-\infty;0)\cup(2;+\infty)$$