Упр.8.7 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$y=(x^2-1)^2$$; в) $$y=(x^2-3x-10)^2$$; б) $$y=(x^2-9)^2+6$$; г) $$y=(x^2-x-20)^2-18$$.
а) Рассмотрим функцию $$f(x)=x^2-1.$$
Это парабола с ветвями вверх, вершина имеет абсциссу $$x_0=-\frac{b}{2a}=0.$$
Нули функции: $$x^2-1=0 \Rightarrow (x-1)(x+1)=0 \Rightarrow x=-1,\; x=1.$$
Тогда функция возрастает на промежутках $$[-1;0]\cup[1;+\infty),$$ а убывает на промежутках $$(-\infty;-1]\cup[0;1].$$
б) Рассмотрим функцию $$f(x)=x^2-9.$$
Это парабола с ветвями вверх, вершина имеет абсциссу $$x_0=0.$$
Нули функции: $$x^2-9=0 \Rightarrow (x-3)(x+3)=0 \Rightarrow x=-3,\; x=3.$$
Следовательно, функция возрастает на промежутках $$[-3;0]\cup[3;+\infty),$$ а убывает на промежутках $$(-\infty;-3]\cup[0;3].$$
в) Рассмотрим функцию $$f(x)=x^2-3x-10.$$
Это парабола с ветвями вверх, вершина имеет абсциссу
$$x_0=-\frac{b}{2a}=\frac{3}{2}=1{,}5.$$
Нули функции: $$x^2-3x-10=0 \Rightarrow (x+2)(x-5)=0 \Rightarrow x=-2,\; x=5.$$
Значит, функция возрастает на промежутках $$[1{,}5;+\infty),$$ а убывает на промежутках $$(-\infty;1{,}5].$$
Для квадратичной функции с ветвями вверх это даёт:
возрастает на $$[-2;1{,}5]\cup[5;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-2]\cup[1{,}5;5].$$
г) Рассмотрим функцию $$f(x)=x^2-x-20.$$
Это парабола с ветвями вверх, вершина имеет абсциссу
$$x_0=-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}=0{,}5.$$
Нули функции: $$x^2-x-20=0 \Rightarrow (x+4)(x-5)=0 \Rightarrow x=-4,\; x=5.$$
Следовательно, функция возрастает на промежутках $$[0{,}5;+\infty),$$ а убывает на промежутках $$(-\infty;0{,}5].$$
Для исходной функции получаем:
возрастает на $$[-4;0{,}5]\cup[5;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-4]\cup[0{,}5;5].$$
Ответ
а) возрастает на $$[-1;0]\cup[1;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-1]\cup[0;1].$$
б) возрастает на $$[-3;0]\cup[3;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-3]\cup[0;3].$$
в) возрастает на $$[-2;1{,}5]\cup[5;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-2]\cup[1{,}5;5].$$
г) возрастает на $$[-4;0{,}5]\cup[5;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-4]\cup[0{,}5;5].$$
