Упр.8.51 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим функцию

$$f(x)=5x^2-3|x|+\frac{1}{x^2}+\frac{3x^2+4|x|+11}{5x^2+1}-6.$$

Решением уравнения будет такое значение $$x$$, при котором $$f(x)=0$$.

Область определения:

$$x^2\ne 0 \Rightarrow x\ne 0,$$

$$5x^2+1\ne 0$$ при всех $$x\in \mathbb{R}.$$

Значит,

$$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

Функция чётная, так как

$$f(-x)=5(-x)^2-3|-x|+\frac{1}{(-x)^2}+\frac{3(-x)^2+4|-x|+11}{5(-x)^2+1}-6=f(x).$$

Следовательно, если $$a$$ — корень уравнения, то и $$-a$$ тоже корень.

Проверим значение $$x=1$$:

$$f(1)=5-3+\frac{1}{1}+\frac{3+4+11}{5+1}-6 =2+1+\frac{18}{6}-6 =2+1+3-6=0.$$

Значит, $$x=1$$ — решение уравнения, а так как функция чётная, то и $$x=-1$$ — тоже решение.

Сумма всех корней равна

$$1+(-1)=0.$$

Ответ: $$0$$.