Упр.8.5 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) Пусть функция $$y=f(x)$$ возрастает и принимает только положительные значения на промежутке $$X$$. Докажите, что функция $$y=(f(x))^2$$ возрастает на промежутке $$X$$.
б) Пусть функция $$y=f(x)$$ убывает и принимает только положительные значения на промежутке $$X$$. Докажите, что функция $$y=(f(x))^2$$ убывает на промежутке $$X$$.
в) Пусть функция $$y=f(x)$$ возрастает и принимает только отрицательные значения на промежутке $$X$$. Докажите, что функция $$y=(f(x))^2$$ убывает на промежутке $$X$$.
г) Пусть функция $$y=f(x)$$ убывает и принимает только отрицательные значения на промежутке $$X$$. Докажите, что функция $$y=(f(x))^2$$ возрастает на промежутке $$X$$.
Пусть $$x_1<x_2$$, где $$x_1,x_2\in X$$.
Если функция $$y=f(x)$$ возрастает и принимает только положительные значения на промежутке $$X$$, то $$0<f(x_1)<f(x_2)$$. Возведём неравенство в квадрат:
$$\bigl(f(x_1)\bigr)^2<\bigl(f(x_2)\bigr)^2.$$
Значит, $$y=f^2(x)$$ возрастает на $$X$$.
Если функция $$y=f(x)$$ убывает и принимает только положительные значения на промежутке $$X$$, то $$0<f(x_2)<f(x_1)$$. Тогда
$$\bigl(f(x_2)\bigr)^2<\bigl(f(x_1)\bigr)^2.$$
Следовательно, $$y=f^2(x)$$ убывает на $$X$$.
Если функция $$y=f(x)$$ возрастает и принимает только отрицательные значения на промежутке $$X$$, то
$$f(x_1)<f(x_2)<0.$$
При возведении в квадрат знак неравенства меняется:
$$\bigl(f(x_1)\bigr)^2>\bigl(f(x_2)\bigr)^2.$$
Значит, $$y=f^2(x)$$ убывает на $$X$$.
Если функция $$y=f(x)$$ убывает и принимает только отрицательные значения на промежутке $$X$$, то
$$f(x_2)<f(x_1)<0.$$
Тогда
$$\bigl(f(x_2)\bigr)^2>\bigl(f(x_1)\bigr)^2.$$
Следовательно, $$y=f^2(x)$$ возрастает на $$X$$.
Ответ: а) возрастает; б) убывает; в) убывает; г) возрастает.
