Упр.8.49 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Из условия $$f(x-3)=ax^2+x.$$

Положим $$t=x-3,$$ тогда $$x=t+3.$$ Получаем

$$f(t)=a(t+3)^2+(t+3).$$

Значит,

$$f(x)=a(x+3)^2+(x+3)=ax^2+6ax+9a+x+3.$$

Так как функция чётная, то $$f(-x)=f(x).$$

Найдём $$f(-x):$$

$$f(-x)=a(-x)^2+6a(-x)+9a+(-x)+3=ax^2-6ax+9a-x+3.$$

Приравниваем:

$$ax^2-6ax+9a-x+3=ax^2+6ax+9a+x+3.$$

Сокращаем одинаковые слагаемые:

$$-6ax-x=6ax+x.$$

$$-12ax=2x.$$

Так как равенство должно выполняться при любом $$x,$$ то

$$-12a=2,$$

$$a=-\frac{1}{6}.$$

Ответ

$$a=-\frac{1}{6}$$