Упр.8.43 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Пусть функция $$y=f(x)$$ определена в точке $$0$$.

Докажем, что если $$y=f(x)$$ — нечётная функция, то $$f(0)=0$$.

Предположим противное: $$f(0)\ne 0$$. Тогда $$f(0)=a$$, то есть график функции пересекает ось $$Oy$$ в точке $$\left(0;a\right)$$.

Так как функция нечётная, её график симметричен относительно начала координат. Значит, он должен проходить и через точку $$\left(0;-a\right)$$.

Получаем противоречие: в одной и той же точке $$x=0$$ функция принимает два разных значения, $$f(0)=a$$ и $$f(0)=-a$$. Следовательно, $$a=-a$$, откуда $$a=0$$.

Значит, $$f(0)=0$$, что и требовалось доказать.

Ответ

$$f(0)=0$$.