Упр.8.39 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Проверим, что для всех допустимых значений аргумента выполняется равенство $$y(-x)=-y(x).$$

1) Пусть $$x<0$$ и $$x\neq -2.$$ Тогда $$-x>0$$ и $$-x\neq 2.$$ Следовательно, для аргумента $$-x$$ берём вторую ветвь:

$$y(-x)=2(-x)^2-(-x)^4+\frac{17}{-x-2}.$$

Упростим:

$$y(-x)=2x^2-x^4-\frac{17}{x+2}.$$

С другой стороны, при $$x<0$$ используем первую ветвь:

$$y(x)=x^4-2x^2+\frac{17}{x+2}.$$

Тогда

$$-y(x)=-x^4+2x^2-\frac{17}{x+2}.$$

Получаем:

$$y(-x)=-y(x).$$

2) Пусть $$x>0$$ и $$x\neq 2.$$ Тогда $$-x<0$$ и $$-x\neq -2.$$ Значит, для аргумента $$-x$$ берём первую ветвь:

$$y(-x)=(-x)^4-2(-x)^2+\frac{17}{-x+2}.$$

Упростим:

$$y(-x)=x^4-2x^2-\frac{17}{x-2}.$$

А при $$x>0$$

$$y(x)=2x^2-x^4+\frac{17}{x-2},$$

поэтому

$$-y(x)=x^4-2x^2-\frac{17}{x-2}.$$

Следовательно, снова

$$y(-x)=-y(x).$$

Итак, $$y(-x)=-y(x)$$ для всех допустимых $$x$$, значит, данная функция нечётная.

Ответ: функция нечётная.