Упр.8.38 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1) Рассмотрим функцию

$$y=2\sqrt{x^4-1}+\sqrt[4]{1-x^2}.$$

Найдём область определения:

$$x^4-1\ge 0 \;\Rightarrow\; (x^2-1)(x^2+1)\ge 0 \;\Rightarrow\; x^2-1\ge 0 \;\Rightarrow\; x\le -1 \text{ или } x\ge 1,$$

$$1-x^2\ge 0 \;\Rightarrow\; x^2-1\le 0 \;\Rightarrow\; -1\le x\le 1.$$

Пересечение этих условий даёт

$$D(f)=\{-1,1\}.$$

Проверим значения функции в этих точках:

$$y(-1)=2\sqrt{(-1)^4-1}+\sqrt[4]{1-(-1)^2}=2\sqrt{0}+\sqrt[4]{0}=0,$$

$$y(1)=2\sqrt{1^4-1}+\sqrt[4]{1-1^2}=2\sqrt{0}+\sqrt[4]{0}=0.$$

Так как $$y(-1)=y(1),$$ функция является и чётной, и нечётной.

2) Примеры таких функций:

• $$y=x-x^3;$$
• $$y=9\sqrt[6]{x^{10}-1}-\sqrt[4]{1-x^{22}};$$
• $$y=\sqrt{x^2-2}+\sqrt{2-x^2};$$
• $$y=\sqrt{x^8-25}+\sqrt{5-x^4}.$$

3) Общий вид таких функций:

$$y=p\sqrt[2n]{x^{2m}-1}-q\sqrt[2k]{1-x^{2t}}, \quad n,m,k,t\in \mathbb{N},$$

или

$$y=\sqrt[2n]{x^{2m}-c^{2k}}-\sqrt[2n]{c^{2k}-x^{2m}}, \quad n,m,k,t\in \mathbb{N}.$$

Ответ: функция из пункта 1 является и чётной, и нечётной; примеры и общий вид приведены выше.