Упр.8.37 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$y=\frac{x^2}{1+x}+\frac{x^2}{1-x}$$

Найдём область определения:

$$1+x\ne 0 \Rightarrow x\ne -1,$$

$$1-x\ne 0 \Rightarrow x\ne 1.$$

Значит,

$$D(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty).$$

Проверим чётность:

$$y(-x)=\frac{(-x)^2}{1+(-x)}+\frac{(-x)^2}{1-(-x)}=\frac{x^2}{1-x}+\frac{x^2}{1+x}=y(x).$$

Ответ: функция чётная.

б) $$y=\sqrt{x^2+2x-3}+\sqrt{x^2-2x-3}$$

Для существования выражения нужно, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательны:

$$x^2+2x-3\ge 0,$$

$$x^2-2x-3\ge 0.$$

Решим неравенства:

$$x^2+2x-3=(x+3)(x-1)\ge 0 \Rightarrow x\le -3 \text{ или } x\ge 1,$$

$$x^2-2x-3=(x+1)(x-3)\ge 0 \Rightarrow x\le -1 \text{ или } x\ge 3.$$

Пересечение этих множеств:

$$D(y)=(-\infty;-3]\cup[3;+\infty).$$

Проверим чётность:

$$y(-x)=\sqrt{(-x)^2+2(-x)-3}+\sqrt{(-x)^2-2(-x)-3}$$

$$=\sqrt{x^2-2x-3}+\sqrt{x^2+2x-3}=y(x).$$

Ответ: функция чётная.

в) $$y=\frac{x^2}{1+x}-\frac{x^2}{1-x}$$

Область определения та же:

$$x\ne -1,\quad x\ne 1,$$

то есть

$$D(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty).$$

Проверим чётность:

$$y(-x)=\frac{(-x)^2}{1+(-x)}-\frac{(-x)^2}{1-(-x)}=\frac{x^2}{1-x}-\frac{x^2}{1+x}=-y(x).$$

Ответ: функция нечётная.

г) $$y=\sqrt{x^2+2x-3}-\sqrt{x^2-2x-3}$$

Область определения совпадает с пунктом б):

$$D(y)=(-\infty;-3]\cup[3;+\infty).$$

Проверим чётность:

$$y(-x)=\sqrt{x^2-2x-3}-\sqrt{x^2+2x-3}=-y(x).$$

Ответ: функция нечётная.