Упр.8.35 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Опираясь на теорему из упражнения 8.51, решите уравнение:

Подробный ответ

Сравним значения левой и правой частей как функций.

а)

$$\sqrt{x^{100}+49}=7-x^4$$

Рассмотрим функции

$$f(x)=\sqrt{x^{100}+49}, \qquad g(x)=7-x^4.$$

Для обеих функций наибольшее значение достигается при $$x=0$$:

$$f(0)=\sqrt{0^{100}+49}=7,$$

$$g(0)=7-0^4=7.$$

Значит, равенство возможно только при $$x=0$$.

б)

$$\sqrt{x^2-2x+5}=1+2x-x^2$$

Пусть

$$f(x)=\sqrt{x^2-2x+5}, \qquad g(x)=1+2x-x^2.$$

Найдём значения в вершинах:

$$x_0(f)=-\frac{-2}{2\cdot 1}=1, \qquad f(1)=\sqrt{1-2+5}=\sqrt{4}=2,$$

$$x_0(g)=-\frac{2}{2\cdot(-1)}=1, \qquad g(1)=1+2\cdot 1-1^2=2.$$

Следовательно, равенство выполняется при $$x=1$$.

в)

$$\sqrt{x^{22}+64}=8-x^{12}-x^{14}$$

Рассмотрим функции

$$f(x)=\sqrt{x^{22}+64}, \qquad g(x)=8-x^{12}-x^{14}.$$

При $$x=0$$ получаем

$$f(0)=\sqrt{0^{22}+64}=8,$$

$$g(0)=8-0^{12}-0^{14}=8.$$

Так как $$f(x)\ge 8$$, а $$g(x)\le 8$$, равенство возможно только при $$x=0$$.

г)

$$\sqrt{-x^2-4x-1}=x^2+4x+7$$

Левая часть определена при

$$-x^2-4x-1\ge 0.$$

Правая часть всегда больше нуля. Обозначим

$$t=x^2+4x+1.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$\sqrt{-t}=t+6.$$

Но левая часть неотрицательна только при $$t\le 0$$, а правая часть тогда не меньше $$6$$. Проверим возможное равенство через сравнение значений функций:

$$f(x)=\sqrt{-x^2-4x-1}, \qquad g(x)=x^2+4x+7.$$

У функции $$f(x)$$ наибольшее значение достигается при $$x=-2$$:

$$f(-2)=\sqrt{-(-2)^2-4\cdot(-2)-1}=\sqrt{3}.$$

У функции $$g(x)$$ наименьшее значение также при $$x=-2$$:

$$g(-2)=(-2)^2+4\cdot(-2)+7=3.$$

Так как $$\sqrt{3}\ne 3$$, равенство невозможно.