Упр.8.32 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции для каждого значения параметра $$a$$:
   а) $$y=x^2-4x$$ на отрезке $$[-1;0]$$;
   б) $$y=-x^2+2x-3$$ на отрезке $$[a;3]$$.

а) Рассмотрим функцию $$y=x^2-4x$$ на отрезке $$[-1;a]$$.

Найдём абсциссу вершины параболы:

$$x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-4)}{2\cdot 1}=2.$$

Значения функции в характерных точках:

$$y(-1)=(-1)^2-4\cdot(-1)=5,$$

$$y(2)=2^2-4\cdot 2=-4,$$

$$y(a)=a^2-4a.$$

Так как парабола ветвями вверх, то минимум достигается в вершине, если $$2\in[-1;a]$$, то есть при $$a\ge 2$$. Тогда нужно сравнить значения на концах отрезка.

Сравним $$y(-1)=5$$ и $$y(a)=a^2-4a$$:

$$a^2-4a>5 \iff a^2-4a-5>0 \iff (a+1)(a-5)>0.$$

Отсюда:

• если $$-1<a\le 2,$$ то $$y_{\min}=a^2-4a,\quad y_{\max}=5$$;
• если $$2\le a\le 5,$$ то $$y_{\min}=-4,\quad y_{\max}=5$$;
• если $$a>5,$$ то $$y_{\min}=-4,\quad y_{\max}=a^2-4a$$.

б) Рассмотрим функцию $$y=-x^2+2x-3$$ на отрезке $$[a;3]$$.

Найдём абсциссу вершины:

$$x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-2}{2\cdot(-1)}=1.$$

Значения функции в характерных точках:

$$y(a)=-a^2+2a-3,$$

$$y(1)=-1+2-3=-2,$$

$$y(3)=-9+6-3=-6.$$

Так как парабола ветвями вниз, то максимум достигается в вершине, если $$1\in[a;3]$$, то есть при $$a\le 1$$. Тогда нужно сравнить значения на концах отрезка.

Сравним $$y(a)$$ и $$y(3)=-6$$:

$$-a^2+2a-3<-6 \iff a^2-2a-3>0 \iff (a+1)(a-3)>0.$$

Отсюда:

• если $$a<-1,$$ то $$y_{\max}=-2,\quad y_{\min}=-a^2+2a-3$$;
• если $$-1\le a<1,$$ то $$y_{\max}=-2,\quad y_{\min}=-6$$;
• если $$1\le a<3,$$ то $$y_{\max}=-a^2+2a-3,\quad y_{\min}=-6$$.

Ответ

а) $$\begin{cases} -1<a\le 2: & y_{\min}=a^2-4a,\ y_{\max}=5,\\ 2\le a\le 5: & y_{\min}=-4,\ y_{\max}=5,\\ a>5: & y_{\min}=-4,\ y_{\max}=a^2-4a. \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} a<-1: & y_{\min}=-a^2+2a-3,\ y_{\max}=-2,\\ -1\le a<1: & y_{\min}=-6,\ y_{\max}=-2,\\ 1\le a<3: & y_{\min}=-6,\ y_{\max}=-a^2+2a-3. \end{cases}$$