Упр.8.31 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции для каждого значения параметра $$a$$: а) $$y=x^2+4x+5a$$ на отрезке $$[-1;1]$$; б) $$y=-x^2+4x-a$$ на отрезке $$[-1;3]$$.

а) $$y=x^2+4x+5a$$ на отрезке $$[-1;1]$$.

Парабола ветвями вверх, значит наибольшее и наименьшее значения на отрезке достигаются на концах отрезка.

Вычислим значения функции на концах:

$$y(-1)=(-1)^2+4\cdot(-1)+5a=1-4+5a=5a-3,$$

$$y(1)=1^2+4\cdot1+5a=1+4+5a=5a+5.$$

Так как $$5a+5>5a-3,$$ то

$$y_{\max}=5a+5,\qquad y_{\min}=5a-3.$$

б) $$y=-x^2+4x-a$$ на отрезке $$[-1;3]$$.

Парабола ветвями вниз, вершина имеет абсциссу

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot(-1)}=2.$$

Точка $$x=2$$ принадлежит отрезку $$[-1;3]$$, значит в вершине достигается наибольшее значение.

Найдём значения функции в вершине и на концах отрезка:

$$y(-1)=-(-1)^2+4\cdot(-1)-a=-1-4-a=-5-a,$$

$$y(2)=-(2)^2+4\cdot2-a=-4+8-a=4-a,$$

$$y(3)=-(3)^2+4\cdot3-a=-9+12-a=3-a.$$

Наибольшее значение:

$$y_{\max}=4-a.$$

Наименьшее значение:

$$y_{\min}=-5-a.$$

Ответ

а) $$y_{\max}=5a+5,\; y_{\min}=5a-3.$$
б) $$y_{\max}=4-a,\; y_{\min}=-5-a.$$