Упр.8.30 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите наименьшее значение функции:
   а) $$y=|x|+|x-2|$$;
   б) $$y=|x-1|+|x-3|+|x-5|$$;
   в) $$y=|x|+|x-2|+|x-4|$$;
   г) $$y=|x|+|x-1|+\dots+|x-n|$$, $$n\in\mathbb{N}$$.

а) Рассмотрим функцию $$y=|x|+|x-2|.$$

Если $$x\ge 2,$$ то

$$y=x+(x-2)=2x-2.$$

Если $$0\le x<2,$$ то

$$y=x-(x-2)=2.$$

Если $$x<0,$$ то

$$y=-x-(x-2)=-2x+2.$$

Наименьшее значение функции равно $$2.$$

б) Рассмотрим функцию $$y=|x-1|+|x-3|+|x-5|.$$

Если $$x\ge 5,$$ то

$$y=(x-1)+(x-3)+(x-5)=3x-9.$$

Если $$3\le x<5,$$ то

$$y=(x-1)+(x-3)-(x-5)=x+1.$$

Если $$1\le x<3,$$ то

$$y=(x-1)-(x-3)-(x-5)=-x+7.$$

Если $$x<1,$$ то

$$y=-(x-1)-(x-3)-(x-5)=-3x+9.$$

Минимум достигается при $$x=3,$$ тогда

$$y_{\min}=|3-1|+|3-3|+|3-5|=2+0+2=4.$$

в) Рассмотрим функцию $$y=|x|+|x-2|+|x-4|.$$

Если $$x\ge 4,$$ то

$$y=x+(x-2)+(x-4)=3x-6.$$

Если $$2\le x<4,$$ то

$$y=x+(x-2)-(x-4)=x+2.$$

Если $$0\le x<2,$$ то

$$y=x-(x-2)-(x-4)=-x+6.$$

Если $$x<0,$$ то

$$y=-x-(x-2)-(x-4)=-3x+6.$$

Минимум достигается при $$x=2,$$ тогда

$$y_{\min}=|2|+|2-2|+|2-4|=2+0+2=4.$$

г) Для функции

$$y=|x|+|x-1|+\dots+|x-n|,\quad n\in\mathbb N$$

минимум достигается в середине отрезка между числами $$0,1,\dots,n.$$

Если $$n$$ чётное, то точка минимума $$x=\dfrac n2,$$ и

$$y_{\min}=2\left(1+2+\dots+\frac n2\right)=\frac{n(n+2)}{4}.$$

Если $$n$$ нечётное, то точка минимума $$x=\dfrac{n+1}{2},$$ и

$$y_{\min}=2\left(1+2+\dots+\frac{n-1}{2}\right)+\frac{n+1}{2}=\frac{(n+1)^2}{4}.$$

Ответ

а) $$2$$; б) $$4$$; в) $$4$$; г) $$\dfrac{n(n+2)}{4}$$ при чётном $$n$$, $$\dfrac{(n+1)^2}{4}$$ при нечётном $$n$$.