Упр.8.3(стар учебник) ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
а) Рассмотрим неравенство под корнем:
$$\frac{x}{x-1}\ge 0,\qquad x-1\ne 0.$$
Критические точки: $$x=0$$ и $$x=1.$$
По знакам дроби получаем:
$$x\in(-\infty;0]\cup(1;+\infty).$$
б) $$y=\sqrt{\frac{x-12}{x^2-16x-48}}.$$
Чтобы выражение под корнем было неотрицательным, решим неравенство
$$\frac{x-12}{x^2-16x-48}\ge 0.$$
Разложим знаменатель на множители:
$$x^2-16x-48=(x-12)(x+4).$$
Тогда
$$\frac{x-12}{(x-12)(x+4)}\ge 0,$$
при этом $$x\ne 12,\quad x\ne -4.$$
После сокращения остаётся
$$\frac{1}{x+4}\ge 0,$$
но точка $$x=12$$ исключается из области определения. По знакам получаем
$$x\in(4;12)\cup(12;+\infty).$$
в) $$y=\sqrt{\frac{-4x}{x^2-4x}}.$$
Рассмотрим неравенство под корнем:
$$\frac{-4x}{x^2-4x}\ge 0,\qquad x^2-4x\ne 0.$$
Разложим знаменатель:
$$x^2-4x=x(x-4).$$
Тогда
$$\frac{-4x}{x(x-4)}\ge 0,$$
при этом $$x\ne 0,\quad x\ne 4.$$
После сокращения получаем
$$\frac{-4}{x-4}\ge 0,$$
откуда
$$x<4,$$
но $$x\ne 0.$$ Значит,
$$x\in(-\infty;0)\cup(0;4).$$
г) $$y=\sqrt{\frac{x+11}{x^2+14x+33}}.$$
Требуется
$$\frac{x+11}{x^2+14x+33}\ge 0,\qquad x^2+14x+33\ne 0.$$
Разложим знаменатель:
$$x^2+14x+33=(x+11)(x+3).$$
Тогда
$$\frac{x+11}{(x+11)(x+3)}\ge 0,$$
при этом $$x\ne -11,\quad x\ne -3.$$
После сокращения получаем
$$\frac{1}{x+3}\ge 0,$$
а точка $$x=-11$$ исключается из области определения. Следовательно,
$$x\in(-3;+\infty).$$
Ответ: а) $$(-\infty;0]\cup(1;+\infty)$$; б) $$(4;12)\cup(12;+\infty)$$; в) $$(-\infty;0)\cup(0;4)$$; г) $$(-3;+\infty).$$
