Упр.8.3 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Докажите: а) если каждая из двух функций возрастает на промежутке $$X$$, то их сумма также возрастает на этом промежутке; б) если каждая из двух функций убывает на промежутке $$X$$, то их сумма также убывает на этом промежутке.

Пусть $$x_2>x_1.$$

а)

Так как функции $$y=f(x)$$ и $$y=g(x)$$ возрастают на промежутке $$X,$$ то

$$f(x_2)>f(x_1), \qquad g(x_2)>g(x_1).$$

Сложим эти неравенства:

$$f(x_2)+g(x_2)>f(x_1)+g(x_1).$$

Значит, $$y=f(x)+g(x)$$ тоже возрастает на промежутке $$X.$$

б)

Так как функции $$y=f(x)$$ и $$y=g(x)$$ убывают на промежутке $$X,$$ то

$$f(x_2)<f(x_1), \qquad g(x_2)<g(x_1).$$

Сложим эти неравенства:

$$f(x_2)+g(x_2)<f(x_1)+g(x_1).$$

Следовательно, $$y=f(x)+g(x)$$ убывает на промежутке $$X.$$

Ответ: сумма двух возрастающих функций возрастает, а сумма двух убывающих функций убывает на том же промежутке.