Упр.8.29 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Используя результаты упражнения 8.42, найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

а) $$y=\frac{2x}{x^2+1}=\frac{2}{x+\frac{1}{x}}.$$

Если $$x>0,$$ то $$x+\frac{1}{x}\ge 2,$$ значит,

$$0<\frac{2}{x+\frac{1}{x}}\le 1.$$

Если $$x<0,$$ то $$x+\frac{1}{x}\le -2,$$ значит,

$$-1\le \frac{2}{x+\frac{1}{x}}<0.$$

Следовательно, $$y_{\min}=-1,$$ $$y_{\max}=1.$$

б) $$y=\frac{4x-4}{x^2-2x+17}=\frac{4(x-1)}{(x-1)^2+16}.$$

Положим $$t=\frac{x-1}{4}.$$ Тогда

$$y=\frac{1}{t+\frac{1}{t}}.$$

Если $$t>0,$$ то $$t+\frac{1}{t}\ge 2,$$ значит,

$$0<y\le \frac{1}{2}.$$

Если $$t<0,$$ то $$t+\frac{1}{t}\le -2,$$ значит,

$$-\frac{1}{2}\le y<0.$$

Следовательно, $$y_{\min}=-\frac{1}{2},$$ $$y_{\max}=\frac{1}{2}.$$

в) $$y=\frac{10x}{x^2+4}=\frac{5}{\frac{x}{2}+\frac{2}{x}}.$$

Положим $$t=\frac{x}{2}.$$ Тогда

$$y=\frac{5}{t+\frac{1}{t}}.$$

Если $$t>0,$$ то $$t+\frac{1}{t}\ge 2,$$ значит,

$$0<y\le \frac{5}{2}.$$

Если $$t<0,$$ то $$t+\frac{1}{t}\le -2,$$ значит,

$$-\frac{5}{2}\le y<0.$$

Следовательно, $$y_{\min}=-\frac{5}{2},$$ $$y_{\max}=\frac{5}{2}.$$

г) $$y=\frac{49(x-2)}{x^2-4x+53}=\frac{49(x-2)}{(x-2)^2+49}.$$

Положим $$t=\frac{x-2}{7}.$$ Тогда

$$y=\frac{7}{t+\frac{1}{t}}.$$

Если $$t>0,$$ то $$t+\frac{1}{t}\ge 2,$$ значит,

$$0<y\le \frac{7}{2}.$$

Если $$t<0,$$ то $$t+\frac{1}{t}\le -2,$$ значит,

$$-\frac{7}{2}\le y<0.$$

Следовательно, $$y_{\min}=-\frac{7}{2},$$ $$y_{\max}=\frac{7}{2}.$$

Ответ

а) $$y_{\min}=-1,\ y_{\max}=1.$$
б) $$y_{\min}=-\frac{1}{2},\ y_{\max}=\frac{1}{2}.$$
в) $$y_{\min}=-\frac{5}{2},\ y_{\max}=\frac{5}{2}.$$
г) $$y_{\min}=-\frac{7}{2},\ y_{\max}=\frac{7}{2}.$$