Упр.8.28 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Наибольшее значение дроби с постоянным числителем достигается при наименьшем неотрицательном значении знаменателя.

а)

$$y=\frac{2}{x^2+1}$$

Рассмотрим знаменатель:

$$x^2+1\ge 1,$$

причём равенство достигается при $$x=0.$$ Тогда

$$y_{\max}=\frac{2}{1}=2.$$

б)

$$y=\frac{2}{x^4+8x^2+1}=\frac{2}{(x^2+4)^2-15}$$

Положим $$t=x^2+4.$$ Тогда $$t\ge 4,$$ и

$$y=\frac{2}{t^2-15}.$$

Минимум знаменателя достигается при наименьшем $$t,$$ то есть при $$x=0.$$ Получаем:

$$x^4+8x^2+1=1,$$

значит

$$y_{\max}=\frac{2}{1}=2.$$

в)

$$y=\frac{2}{x^2-4x+10}=\frac{2}{(x-2)^2+6}$$

Так как $$\left(x-2\right)^2\ge 0,$$ то

$$x^2-4x+10\ge 6,$$

причём равенство при $$x=2.$$ Тогда

$$y_{\max}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.$$

г)

$$y=\frac{2}{x^4-8x^2+17}=\frac{2}{(x^2-4)^2+1}$$

Так как $$\left(x^2-4\right)^2\ge 0,$$ то

$$x^4-8x^2+17\ge 1,$$

причём равенство достигается при $$x=\pm 2.$$ Следовательно,

$$y_{\max}=\frac{2}{1}=2.$$

Ответ

а) $$2$$; б) $$2$$; в) $$\frac{1}{3}$$; г) $$2$$.