Упр.8.27 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Найдите наибольшее и/или наименьшее значение функции $$y=-2x^2-12x+3$$: а) на отрезке $$[-1; 3]$$; в) на луче $$[-4; +\infty)$$; б) на луче $$(-\infty; -4]$$; г) на $$\mathbb{R}$$.
Функция $$y=-2x^2-12x+3$$ — квадратичная, её ветви направлены вниз, так как $$a=-2<0$$.
Найдём абсциссу вершины:
$$x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-12)}{2\cdot(-2)}=\frac{12}{-4}=-3.$$
Значение функции в вершине:
$$y(-3)=-2\cdot(-3)^2-12\cdot(-3)+3=-18+36+3=21.$$
а) На отрезке $$[-1;3]$$
Проверим значения на концах отрезка:
$$y(-1)=-2\cdot(-1)^2-12\cdot(-1)+3=-2+12+3=13,$$
$$y(3)=-2\cdot3^2-12\cdot3+3=-18-36+3=-51.$$
Так как парабола направлена вниз, наибольшее значение на отрезке равно $$13$$, а наименьшее — $$-51$$.
б) На луче $$(-\infty;-4]$$
Вершина при $$x=-3$$ не принадлежит этому лучу, а на луче функция возрастает при движении к вершине. Поэтому наибольшее значение достигается в правом конце луча:
$$y(-4)=-2\cdot(-4)^2-12\cdot(-4)+3=-32+48+3=19.$$
Наименьшего значения на луче нет.
в) На луче $$[-4;+\infty)$$
Здесь вершина $$x=-3$$ принадлежит лучу, значит наибольшее значение достигается в вершине:
$$y_{\max}=y(-3)=21.$$
Наименьшего значения на этом луче нет.
г) На множестве $$\mathbb{R}$$
Для всей области определения наибольшее значение достигается в вершине параболы:
$$y_{\max}=21.$$
Наименьшего значения нет, так как при $$x\to\pm\infty$$ значение функции неограниченно убывает.
Ответ
а) $$y_{\max}=13,\; y_{\min}=-51$$; б) $$y_{\max}=19,$$ наименьшего значения нет; в) $$y_{\max}=21,$$ наименьшего значения нет; г) $$y_{\max}=21,$$ наименьшего значения нет.
