Упр.8.25 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим функцию $$y=x+\frac{1}{x}, \qquad x\ne 0.$$

Найдём её область значений отдельно при $$x<0$$ и при $$x>0$$.

а) При $$x<0$$

Преобразуем выражение:

$$y=x+\frac{1}{x} \quad \Rightarrow \quad yx=x^2+1 \quad \Rightarrow \quad x^2-yx+1=0.$$

Это квадратное уравнение относительно $$x$$. Чтобы оно имело действительные корни, дискриминант должен быть неотрицательным:

$$D=y^2-4\ge 0.$$

Отсюда

$$y^2\ge 4 \quad \Rightarrow \quad y\le -2 \ \text{или}\ y\ge 2.$$

Но при $$x<0$$ имеем

$$x+\frac{1}{x}<0,$$

значит, положительные значения $$y\ge 2$$ не подходят. Следовательно,

$$y\le -2.$$

б) При $$x>0$$

Аналогично:

$$y=x+\frac{1}{x} \quad \Rightarrow \quad yx=x^2+1 \quad \Rightarrow \quad x^2-yx+1=0.$$

Для существования действительных корней нужно:

$$D=y^2-4\ge 0,$$

то есть

$$y\le -2 \ \text{или}\ y\ge 2.$$

Но при $$x>0$$ имеем

$$x+\frac{1}{x}>0,$$

значит, отрицательные значения $$y\le -2$$ не подходят. Следовательно,

$$y\ge 2.$$

Ответ: при $$x<0$$ $$y\le -2$$; при $$x>0$$ $$y\ge 2$$.