Упр.8.22 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Приведите пример функции, определенной во всех точках отрезка $$[a,b]$$, ограниченной на этом отрезке, но не имеющей ни наибольшего, ни наименьшего значений на отрезке $$[a,b]$$.

б) Приведите пример функции, определенной и ограниченной на $$\mathbb{R}$$, но не имеющей ни наибольшего, ни наименьшего значений на $$\mathbb{R}$$.

Подойдёт, например, такая функция:

$$f(x)= \begin{cases} x+1, & 1 \le x < 4,\\ 7-x, & 4 \le x < 6,\\ x-4, & 6 \le x \le 7. \end{cases}$$

Она определена на всём отрезке $$[1;7]$$ и ограничена на нём. При этом наибольшее значение не достигается, так как при $$x \to 4-$$ имеем $$f(x)\to 5$$, но $$f(x)\ne 5$$, а наименьшее значение не достигается, так как при $$x \to 6-$$ имеем $$f(x)\to 1$$, но $$f(x)\ne 1$$.

Для пункта б) можно взять, например, функцию

$$f(x)= \begin{cases} \dfrac{x}{x+1}, & x \ge 1,\\ x, & -1<x<1,\\ \dfrac{x}{1-x}, & x \le -1. \end{cases}$$

Она определена и ограничена на $$\mathbb{R}$$, причём её значения лежат в промежутке $$(-1;1)$$. Следовательно, функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений на $$\mathbb{R}$$.

Ответ: можно привести указанные примеры функций.