Упр.8.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Убедитесь, что функция, график которой изображен на заданном рисунке, не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений; задайте эту функцию аналитически.

Множество значений данных функций ограничено интервалом $$\left(a;b\right),$$ значит для любых чисел $$m,\,M\in\left(a;b\right)$$ можно подобрать число $$x\in D(f),$$ при котором будут выполняться неравенства:

$$a<f(x)<m;$$

$$M<f(x)<b.$$

Следовательно, эти функции не имеют ни наибольшего, ни наименьшего значений.

а) Рисунок 22

Уравнение прямой имеет вид $$y=kx+b.$$

На отрезке $$[-3;0)$$ прямая проходит через точки $$(-3;1)$$ и $$\left(0;-3\right)$$. Тогда

$$\begin{aligned} 1&=k\cdot(-3)+b,\\ -3&=k\cdot 0+b. \end{aligned}$$

Отсюда $$b=-3,$$

$$1=-3k-3,$$

$$k=-\frac{4}{3}.$$

Значит, $$y=-\frac{4}{3}x-3.$$

На отрезке $$\left(0;3\right]$$ прямая проходит через точки $$\left(0;2\right)$$ и $$\left(3;-2\right)$$. Тогда

$$\begin{aligned} 2&=k\cdot 0+b,\\ -2&=k\cdot 3+b. \end{aligned}$$

Отсюда $$b=2,$$

$$-2=3k+2,$$

$$k=-\frac{4}{3}.$$

Значит, $$y=-\frac{4}{3}x+2.$$

Итак,

$$f(x)= \begin{cases} -\dfrac{4}{3}x-3, & -3\le x<0,\\[4pt] -\dfrac{4}{3}x+2, & 0<x\le 3. \end{cases}$$

б) Рисунок 23

Уравнение параболы имеет вид $$y=a(x+b)^2+c.$$

Вершина параболы находится в точке $$\left(1;-2\right),$$ значит

$$b=-1,\qquad c=-2,$$

поэтому

$$y=a(x-1)^2-2.$$

Парабола проходит через точку $$\left(4;3\right),$$ значит

$$3=a(4-1)^2-2,$$

$$3=9a-2,$$

$$5=9a,$$

$$a=\frac{5}{9}.$$

Следовательно,

$$y=\frac{5}{9}(x-1)^2-2.$$

Итак,

$$f(x)= \begin{cases} \dfrac{5}{9}(x-1)^2-2, & -2<x<1,\\[4pt] \dfrac{5}{9}(x-1)^2-2, & 1<x<4. \end{cases}$$

Ответ

а) $$f(x)= \begin{cases} -\dfrac{4}{3}x-3, & -3\le x<0,\\[4pt] -\dfrac{4}{3}x+2, & 0<x\le 3. \end{cases}$$

б) $$f(x)= \begin{cases} \dfrac{5}{9}(x-1)^2-2, & -2<x<1,\\[4pt] \dfrac{5}{9}(x-1)^2-2, & 1<x<4. \end{cases}$$