Упр.8.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Докажите, что функции, графики которых изображены на рисунках к упражнениям 8.7, 8.8, ограничены в области их определения.
б) Докажите: если функция имеет наибольшее и наименьшее значение на множестве $$M$$, то она ограничена на этом множестве.

Пусть $$y=f(x)$$ — функция, определённая на множестве $$M$$, и она имеет на этом множестве наименьшее и наибольшее значения:

$$f(x_1)=m$$ — наименьшее значение,

$$f(x_2)=N$$ — наибольшее значение.

Тогда для любого $$x\in M$$ выполняется неравенство

$$m\le f(x)\le N.$$

Значит, значения функции на множестве $$M$$ заключены между двумя числами $$m$$ и $$N$$, то есть функция ограничена снизу и сверху на этом множестве.

Следовательно, функция $$y=f(x)$$ ограничена на множестве $$M$$, что и требовалось доказать.

Ответ

Если функция имеет на множестве $$M$$ наибольшее и наименьшее значения, то она ограничена на этом множестве.