Упр.8 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\frac{2m}{m^2-4}\cdot\frac{m+1}{2m-2}:\frac{2m-2}{m-2}$$

Разложим на множители:

$$m^2-4=(m-2)(m+2), \quad 2m-2=2(m-1).$$

Тогда

$$\frac{2m}{(m-2)(m+2)}\cdot\frac{m+1}{2(m-1)}\cdot\frac{m-2}{2(m-1)}$$

Сокращаем:

$$=\frac{m(m+1)}{2(m-1)^2(m+2)}.$$

б) $$\left(\frac{1}{b-1}-\frac{1}{b^2-b}\right)\cdot\frac{b}{b+2}:\frac{b^2-4}{b^2-2b}$$

Разложим знаменатели:

$$b^2-b=b(b-1), \quad b^2-4=(b-2)(b+2), \quad b^2-2b=b(b-2).$$

Сначала упростим выражение в скобках:

$$\frac{1}{b-1}-\frac{1}{b(b-1)}=\frac{b-1}{b(b-1)}=\frac{1}{b}.$$

Тогда

$$\frac{1}{b}\cdot\frac{b}{b+2}:\frac{(b-2)(b+2)}{b(b-2)}=\frac{1}{b+2}:\frac{b+2}{b}.$$

Деление заменяем умножением на обратную дробь:

$$\frac{1}{b+2}\cdot\frac{b}{b+2}=\frac{b}{(b+2)^2}.$$

в) $$\frac{1}{a-2}-\frac{4a}{a^2-4}:\frac{1}{a}$$

Так как

$$a^2-4=(a-2)(a+2),$$

то

$$\frac{4a}{a^2-4}:\frac{1}{a}=\frac{4a}{(a-2)(a+2)}\cdot a=\frac{4a^2}{(a-2)(a+2)}.$$

Тогда

$$\frac{1}{a-2}-\frac{4a^2}{(a-2)(a+2)}=\frac{a+2-4a^2}{(a-2)(a+2)}.$$

Это и есть результат упрощения.

г) $$\left(\frac{c+4}{3(c+3)}-\frac{1}{c+1}\right):\left(\frac{c+1}{3}+\frac{2}{c^2-1}\right)$$

Разложим:

$$c^2-1=(c-1)(c+1).$$

Первую скобку приводим к общему знаменателю:

$$\frac{c+4}{3(c+3)}-\frac{1}{c+1}=\frac{(c+4)(c+1)-3(c+3)}{3(c+3)(c+1)}=\frac{c^2+2c-5}{3(c+3)(c+1)}.$$

Вторую скобку:

$$\frac{c+1}{3}+\frac{2}{(c-1)(c+1)}=\frac{(c+1)^2(c-1)+6}{3(c-1)(c+1)}.$$

Тогда всё выражение равно

$$\frac{c^2+2c-5}{3(c+3)(c+1)}\cdot\frac{3(c-1)(c+1)}{(c+1)^2(c-1)+6}.$$

Сокращаем $$3$$ и $$c+1$$:

$$=\frac{(c^2+2c-5)(c-1)}{(c+3)\bigl((c+1)^2(c-1)+6\bigr)}.$$

Ответ:

а) $$\frac{m(m+1)}{2(m-1)^2(m+2)}$$; б) $$\frac{b}{(b+2)^2}$$; в) $$\frac{a+2-4a^2}{(a-2)(a+2)}$$; г) $$\frac{(c^2+2c-5)(c-1)}{(c+3)\bigl((c+1)^2(c-1)+6\bigr)}$$.