Упр.8.2 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим преобразование $$y=a\cdot f(x)+b.$$

1. Если функция $$y=f(x)$$ возрастает на промежутке $$X$$ и $$a>0$$, то при $$x_2>x_1$$ имеем
   $$f(x_2)>f(x_1).$$
   Умножая неравенство на положительное число $$a$$ и прибавляя $$b$$, получаем
   $$a\cdot f(x_2)+b>a\cdot f(x_1)+b.$$
   Значит, $$y(x_2)>y(x_1)$$, то есть функция $$y=a\cdot f(x)+b$$ возрастает на $$X$$.
2. Если функция $$y=f(x)$$ убывает на промежутке $$X$$ и $$a<0$$, то при $$x_2>x_1$$ имеем
   $$f(x_2)<f(x_1).$$
   Умножая неравенство на отрицательное число $$a$$, получаем
   $$a\cdot f(x_2)>a\cdot f(x_1).$$
   Тогда
   $$a\cdot f(x_2)+b>a\cdot f(x_1)+b,$$
   следовательно, $$y(x_2)>y(x_1)$$, и функция $$y=a\cdot f(x)+b$$ возрастает на $$X$$.
3. Если функция $$y=f(x)$$ убывает на промежутке $$X$$ и $$a>0$$, то при $$x_2>x_1$$ имеем
   $$f(x_2)<f(x_1).$$
   Умножая на положительное число $$a$$ и прибавляя $$b$$, получаем
   $$a\cdot f(x_2)+b<a\cdot f(x_1)+b.$$
   Значит, $$y(x_2)<y(x_1)$$, то есть функция $$y=a\cdot f(x)+b$$ убывает на $$X$$.
4. Если функция $$y=f(x)$$ возрастает на промежутке $$X$$ и $$a<0$$, то при $$x_2>x_1$$ имеем
   $$f(x_2)>f(x_1).$$
   Умножая неравенство на отрицательное число $$a$$, получаем
   $$a\cdot f(x_2)<a\cdot f(x_1).$$
   Тогда
   $$a\cdot f(x_2)+b<a\cdot f(x_1)+b,$$
   следовательно, $$y(x_2)<y(x_1)$$, и функция $$y=a\cdot f(x)+b$$ убывает на $$X$$.

Ответ: при $$a>0$$ знак монотонности сохраняется, при $$a<0$$ — меняется на противоположный.