Упр.8.16 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Докажите:

а) если функция $$y=f(x)$$ возрастает или убывает на промежутке $$X$$, то уравнение $$f(x)=a$$ не может иметь более одного корня на $$X$$;
б) если функция $$y=f(x)$$ возрастает на промежутке $$X$$, а функция $$y=g(x)$$ убывает на промежутке $$X$$, то уравнение $$f(x)=g(x)$$ не может иметь более одного корня на $$X$$.

Подробный ответ

Пусть уравнение $$f(x)=a$$ имеет два различных корня $$x_1$$ и $$x_2$$, где $$x_1,x_2\in X$$. Тогда

$$f(x_1)=a,\qquad f(x_2)=a,$$

то есть

$$f(x_1)=f(x_2).$$

Но на промежутке $$X$$ функция $$y=f(x)$$ монотонна, значит, равенство значений функции при разных аргументах невозможно. Следовательно, $$x_1=x_2$$, что противоречит условию о различных корнях. Значит, уравнение $$f(x)=a$$ может иметь на $$X$$ не более одного корня.

Пусть теперь уравнение $$f(x)=g(x)$$ имеет два различных корня $$x_1$$ и $$x_2$$, где $$x_1,x_2\in X$$. Тогда

$$f(x_1)=g(x_1),\qquad f(x_2)=g(x_2).$$

Рассмотрим случай $$x_1<x_2$$. Так как $$f(x)$$ возрастает на $$X$$, а $$g(x)$$ убывает на $$X$$, то

$$f(x_1)<f(x_2),\qquad g(x_1)>g(x_2).$$

Из равенств $$f(x_1)=g(x_1)$$ и $$f(x_2)=g(x_2)$$ получаем

$$f(x_1)<f(x_2)=g(x_2)<g(x_1),$$

откуда следует, что $$f(x_1)<g(x_1)$$, что противоречит равенству $$f(x_1)=g(x_1)$$.

Если же $$x_1>x_2$$, рассуждение аналогично и также приводит к противоречию.

Следовательно, уравнение $$f(x)=g(x)$$ на промежутке $$X$$ может иметь не более одного корня.