Упр.8.15 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Пусть функция $$y=f(x)$$ определена на отрезке $$[-1;1]$$ и убывает на нём. Решите: а) уравнение $$f(3x+2)=f(4x^2+x)$$; б) неравенство $$f(3x+2)
Так как функция $$y=f(x)$$ определена на отрезке $$[-1;1]$$ и убывает на нем, то:
- при $$f(3x+2)=f(4x^2+x)$$ нужно, чтобы аргументы были равны;
- при $$f(3x+2)
а)
Решим уравнение:
$$3x+2=4x^2+x$$
$$4x^2-2x-2=0$$
$$2x^2-x-1=0$$
$$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-1)=1+8=9$$
$$x_{1,2}=\frac{1\pm 3}{4}$$
$$x_1=-\frac12,\qquad x_2=1$$
Проверим:
при $$x=-\frac12$$
$$3x+2=3\cdot\left(-\frac12\right)+2=\frac12,\qquad 4x^2+x=4\cdot\left(\frac14\right)-\frac12=\frac12$$
при $$x=1$$
$$3x+2=5,\qquad 4x^2+x=5$$
Оба значения подходят.
б)
Сначала найдем, при каких $$x$$ оба аргумента лежат на отрезке $$[-1;1]$$.
Для левой части:
$$-1\le 3x+2\le 1$$
$$-3\le 3x\le -1$$
$$-1\le x\le -\frac13$$
Для правой части:
$$-1\le 4x^2+x\le 1$$
Из неравенства $$4x^2+x\le 1$$ получаем:
$$4x^2+x-1\le 0$$
$$D=1+16=17$$
$$x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{17}}{8}$$
Тогда
$$\frac{-1-\sqrt{17}}{8}\le x\le \frac{-1+\sqrt{17}}{8}$$
Пересечение условий дает:
$$x\in\left[-1;-\frac13\right]\cap \left[\frac{-1-\sqrt{17}}{8};\frac{-1+\sqrt{17}}{8}\right] =\left[\frac{-1-\sqrt{17}}{8};-\frac13\right]$$
Теперь решим неравенство, учитывая убывание функции:
$$f(3x+2)
$$4x^2-2x-2<0$$
$$2x^2-x-1<0$$
$$(2x+1)(x-1)<0$$
$$-\frac12<x<1$$
Пересекаем с областью допустимых значений:
$$\left(-\frac12;1\right)\cap \left[\frac{-1-\sqrt{17}}{8};-\frac13\right] =\left(-\frac12;-\frac13\right]$$
Ответ
а) $$x=-\frac12,\ 1$$;
б) $$x\in\left(-\frac12;-\frac13\right]$$.
