Упр.8.14 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Так как функция $$y=f(x)$$ определена на интервале $$(-1;1)$$ и возрастает на нем, то:

а) из равенства $$f(3x+2)=f(4x^2+x)$$ следует, что при допустимых значениях аргументов

$$3x+2=4x^2+x.$$

Решим уравнение:

$$3x+2=4x^2+x \\\\ 4x^2-2x-2=0 \\\\ 2x^2-x-1=0$$

$$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-1)=1+8=9$$

$$x_{1,2}=\frac{1\pm 3}{4}$$

$$x_1=-\frac12,\qquad x_2=1$$

Проверим условие принадлежности аргументов интервалу $$(-1;1)$$:

при $$x=-\frac12$$ имеем $$3x+2=\frac12$$ и $$4x^2+x=\frac12$$ — подходит;

при $$x=1$$ получаем $$3x+2=5$$, что не принадлежит интервалу $$(-1;1)$$, значит этот корень не подходит.

Следовательно,

а) $$x=-\frac12.$$

б) так как функция возрастает, то

$$f(3x+2)<f(4x^2+x)\iff 3x+2<4x^2+x,$$

при этом должны выполняться условия

$$-1<3x+2<1,\qquad -1<4x^2+x<1.$$

Из первого неравенства получаем:

$$-1<3x+2<1 \\\\ -3<3x<-1 \\\\ -1<x<-\frac13$$

Из второго неравенства:

$$-1<4x^2+x<1$$

Рассмотрим правую часть:

$$4x^2+x<1 \\\\ 4x^2+x-1<0$$

Корни квадратного трёхчлена:

$$D=1+16=17,\qquad x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{17}}{8}$$

Тогда

$$\frac{-1-\sqrt{17}}{8}<x<\frac{-1+\sqrt{17}}{8}$$

Левая часть $$-1<4x^2+x$$ выполняется при любых $$x$$, так как

$$4x^2+x+1>0,\qquad D=1-16=-15<0.$$

Теперь решим неравенство

$$3x+2<4x^2+x \\\\ 2x^2-x-1>0 \\\\ (2x+1)(x-1)>0$$

Отсюда

$$x<-\frac12 \quad \text{или} \quad x>1.$$

С учётом условий области допустимых значений получаем пересечение:

$$\left(-1;-\frac13\right)\cap \left(-\infty;-\frac12\right)=\left(-1;-\frac12\right).$$

Итак,

б) $$x\in\left(\frac{-1-\sqrt{17}}{8};-\frac12\right).$$

Ответ

а) $$-\frac12$$; б) $$\left(\frac{-1-\sqrt{17}}{8};-\frac12\right).$$