Упр.8.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Подробный ответ

Так как функция $$y=f(x)$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, то

$$f\!\left(\frac{1}{3x^2+4x-7}\right)=f\!\left(\frac{1}{2x^2+3x-5}\right)$$
тогда и только тогда, когда
$$\frac{1}{3x^2+4x-7}=\frac{1}{2x^2+3x-5}.$$

Решим уравнение:

$$\frac{1}{3x^2+4x-7}=\frac{1}{2x^2+3x-5}$$
$$3x^2+4x-7=2x^2+3x-5$$
$$x^2+x-2=0$$
$$(x+2)(x-1)=0$$
$$x=-2 \text{ или } x=1.$$

Проверим, что знаменатели не обращаются в нуль:

$$3\cdot(-2)^2+4\cdot(-2)-7=-3,\qquad 2\cdot(-2)^2+3\cdot(-2)-5=-3;$$
$$3\cdot1^2+4\cdot1-7=0,\qquad 2\cdot1^2+3\cdot1-5=0.$$

При $$x=1$$ выражения не имеют смысла, значит подходит только $$x=-2$$.

Для неравенства

$$f\!\left(\frac{1}{3x^2+4x-7}\right)\ge f\!\left(\frac{1}{2x^2+3x-5}\right)$$
из убывания функции получаем
$$\frac{1}{3x^2+4x-7}\le \frac{1}{2x^2+3x-5}.$$

Перенесём в одну сторону:

$$\frac{1}{2x^2+3x-5}-\frac{1}{3x^2+4x-7}\le 0$$
$$\frac{(3x^2+4x-7)-(2x^2+3x-5)}{(2x^2+3x-5)(3x^2+4x-7)}\le 0$$
$$\frac{x^2+x-2}{(2x^2+3x-5)(3x^2+4x-7)}\le 0$$
$$\frac{(x+2)(x-1)}{(2x+5)(x-1)(3x+7)(x-1)}\le 0.$$

С учётом области определения $$x\ne 1,\; x\ne -\frac52,\; x\ne -\frac73$$ получаем

$$\frac{x+2}{(2x+5)(3x+7)(x-1)}\le 0.$$

По знакам на промежутках получаем решение:

$$x\in(-\infty;-\tfrac52)\cup\left[-\tfrac73;-2\right]\cup(1;+\infty).$$