Упр.8.12(стар учебник) ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1) $$y=2+\frac{x}{|x|}$$

Так как $$|x|=\begin{cases}x,& x>0,\\ -x,& x<0,\end{cases}$$ то

$$y=\begin{cases}2+\frac{x}{x}=3,& x>0,\\[4pt] 2+\frac{x}{-x}=1,& x<0.\end{cases}$$

Следовательно,

$$E(y)=\{1,3\}.$$

2) $$y=x^2+2x-\frac{x}{|x|}$$

При $$x>0$$ имеем $$\frac{x}{|x|}=1$$, значит

$$y=x^2+2x-1.$$

При $$x<0$$ имеем $$\frac{x}{|x|}=-1$$, значит

$$y=x^2+2x+1=(x+1)^2.$$

Для $$x>0$$ значения функции: $$y>0^2+2\cdot 0-1=-1,$$ а при $$x\to +\infty$$ $$y\to +\infty.$$

Для $$x<0$$ функция $$y=(x+1)^2\ge 0.$$

Значит,

$$E(y)=[-1,+\infty).$$

3) $$y=2x-\frac{x}{|x|}$$

При $$x>0$$:

$$y=2x-1.$$

При $$x<0$$:

$$y=2x+1.$$

Обе части — линейные функции, принимающие все действительные значения, поэтому

$$E(y)=(-\infty,+\infty).$$

4) $$y=x^2-2x+\frac{x+1}{|x+1|}$$

При $$x>-1$$ имеем $$\frac{x+1}{|x+1|}=1,$$ тогда

$$y=x^2-2x+1=(x-1)^2\ge 0.$$

При $$x<-1$$ имеем $$\frac{x+1}{|x+1|}=-1,$$ тогда

$$y=x^2-2x-1.$$

Минимум этой параболы равен $$-2$$, но при $$x<-1$$ он не достигается; при $$x=-1$$ выражение не определено. На границе при $$x\to -1-$$ получаем $$y\to 2.$$

В итоге множество значений:

$$E(y)=[0,+\infty).$$

Ответ

1) $$\{1,3\}$$; 2) $$[-1,+\infty)$$; 3) $$(-\infty,+\infty)$$; 4) $$[0,+\infty)$$.