Упр.8.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Подробный ответ

а) Рассмотрим функцию $$f(x)=x^4+1.$$

Так как $$x^4$$ возрастает на $$[0;+\infty)$$ и убывает на $$(-\infty;0],$$ то и функция $$f(x)=x^4+1$$ имеет те же промежутки монотонности.

Следовательно, функция $$y=\dfrac{1}{x^4+1}$$ убывает там, где возрастает знаменатель, и возрастает там, где знаменатель убывает:

$$\text{возрастает на }(-\infty;0], \qquad \text{убывает на }[0;+\infty).$$

б) Рассмотрим функцию $$f(x)=x^2+6x+10.$$

Приведём к виду полного квадрата:

$$x^2+6x+10=(x+3)^2+1.$$

Парабола направлена вверх, её вершина имеет абсциссу $$x=-3.$$ Поэтому функция $$f(x)$$ убывает на $$(-\infty;-3]$$ и возрастает на $$[-3;+\infty).$$

Тогда функция $$y=\dfrac{1}{x^2+6x+10}$$

$$\text{возрастает на }(-\infty;-3], \qquad \text{убывает на }[-3;+\infty).$$

в) Рассмотрим функцию $$f(x)=x^2-1.$$

Имеем:

$$x^2-1=(x-1)(x+1).$$

Парабола направлена вверх, вершина при $$x=0.$$ Значит, $$f(x)$$ убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty).$$

Следовательно, функция $$y=\dfrac{1}{x^2-1}$$ убывает там, где $$f(x)$$ возрастает, и возрастает там, где $$f(x)$$ убывает, с учётом области определения $$x\ne -1,\; x\ne 1.$$

Итак:

$$\text{возрастает на }(-\infty;-1)\cup(-1;0],$$

$$\text{убывает на }[0;1)\cup(1;+\infty).$$

г) Рассмотрим функцию $$f(x)=x^2-4x-12.$$

Приведём к виду полного квадрата:

$$x^2-4x-12=(x-2)^2-16.$$

Парабола направлена вверх, вершина имеет абсциссу $$x=2.$$ Значит, $$f(x)$$ убывает на $$(-\infty;2]$$ и возрастает на $$[2;+\infty).$$

Тогда функция $$y=\dfrac{1}{x^2-4x-12}$$

$$\text{возрастает на }(-\infty;-2)\cup(-2;2],$$

$$\text{убывает на }[2;6)\cup(6;+\infty).$$