Упр.77 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

В сплав меди и цинка, содержащий $$5\ \text{кг}$$ цинка, добавили $$15\ \text{кг}$$ цинка, после чего содержание цинка в сплаве повысилось на $$30\%$$. Какова первоначальная масса сплава, если известно, что в нём меди было больше, чем цинка?

Пусть $$x$$ кг — масса меди в первом сплаве. Тогда масса первого сплава равна $$x+5$$ кг, а после добавления $$15$$ кг цинка масса второго сплава стала равна $$x+20$$ кг.

Содержание цинка в первом сплаве было равно $$\frac{5}{x+5}\cdot 100\%,$$ а во втором — $$\frac{20}{x+20}\cdot 100\%.$$ По условию оно увеличилось на $$30\%,$$ значит:

$$\frac{20}{x+20}\cdot 100-\frac{5}{x+5}\cdot 100=30.$$

Упростим уравнение:

$$\frac{2000}{x+20}-\frac{500}{x+5}=30,$$

$$2000(x+5)-500(x+20)=30(x+5)(x+20),$$

$$2000x+10000-500x-10000=30(x^2+25x+100),$$

$$1500x=30x^2+750x+3000,$$

$$30x^2-750x+3000=0,$$

$$x^2-25x+100=0.$$

Найдём корни:

$$D=25^2-4\cdot 100=625-400=225,$$

$$x_{1,2}=\frac{25\pm 15}{2},$$

$$x_1=5,\quad x_2=20.$$

По условию меди в сплаве было больше, чем цинка, значит $$x>5.$$ Поэтому подходит $$x=20$$ кг.

Тогда первоначальная масса сплава:

$$x+5=20+5=25\text{ кг}.$$

Ответ: $$25$$ кг.